Hur bevisar du Baire kategori sats?

Baire kategori sats är, enligt min mening en av mest otroligt inflytelserika och viktiga resultaten från alla fält i matematik, än mindre topologi. Det är känt som en existens sats eftersom det ger de nödvändiga förutsättningarna att bevisa att vissa saker måste existera, även om det inte finns några exempel på dem som kan visas. Sats bevisades av René-Louis Baire 1899 och är en nödvändig följd att bevisa, bland annat, principen om enhetlig boundedness och den öppna avbildningen sats (två av de tre mest grundläggande resultaten från funktionell analys), det verklig numrerar är oräkneliga, och förekomsten av kontinuerlig, men ingenstans differentierbara, fungerar från R till R.

Beviset är ganska lång och omfattar vissa ganska avancerad matematik, så hjälper dig med läsarens förståelse det är en lista med symboler och deras betydelser i slutet av detta bevis. Dessutom har jag lagt till många relaterade länkar med definitioner och förklaringar av termer som används i detta bevis.

Baire kategori sats:

Om B, D är ett nonempty, komplett metriskt rum, sedan hålla följande två påståenden:

1) om B är formulerade som unionen av uppräkneligt många underdelar, är C1, C2,..., Cp, då minst en av Cp någonstans tät.
2) om A1, A2,..., Ap uppräkneligt-många, tät, öppna delmängder av B, då ∩pAp är tät i B, dvs Cl(∩pAp) = B

Bevis:

1) om det första meddelandet är falskt, då finns det en uppräknelig familj {Cp}, p Є P, av delmängder av B sådan att B = ∪pCp, men (Cl Cp) o = Ø för varje p Є P. Därför, för varje p, Cl Cp≠ B. Select b1 Є B - Cl C1. Det finns ett positivt nummer m1< 1,="" since="" b="" -="" cl="" c1="" is="" open,="" such="" that="" n(b1,="" m1)="" ⊂="" b="" -="" cl="" c1.="" now="" we="" set="" g1="N(b1," m1/2).="" then="" cl="" g1="" ⊂="" n(b1,="" m1);="" hence="" cl="" g1="" ∩="" cl="" c1="">

Eftersom G1 är en nonempty, öppen delmängd av B, vilket innebär att G1 ⊄ Cl C2. Så, Välj en b2 Є G1 - Cl C2. Sedan G1 - Cl C2 är öppen, det finns en m2 > 0 sådan att N (b2, m2) ⊂ G1 - Cl C2. Denna gång kommer vi att kräva m2< 1/2="" and="" then="" set="" g2="N(b2," m2/2).="" then="" g2="" ⊂="" g1="" and="" cl="" g2="" ∩="" cl="" c2="">

Om vi fortsätter på såhär, som kräver m3 < 1/3,="" m4=""> < 1/4,="" etc.,="" we'll="" obtain="" a="" decreasing="" sequence="" of="" mp-neighborhoods,="" g1="" ⊃="" g2="" ⊃="" g3="" ⊃="" …="" ⊃="" gp="" ⊃="" …="" such="" that="" cl="" gp="" ∩="" cl="" cp="Ø" and="" mp=""> < 1/p.="" then="" cl="" g1="" ⊃="" cl="" g2="" ⊃="" cl="" g3="" ⊃="" …="" ⊃="" cl="" gp="" ⊃="" …="" and="" d(gp)="" --=""> 0.

Jag kommer att använda ett resultat från en annan sats i topologin inte visat här, som säger att om G1 ⊃ G2 ⊃ G3 ⊃... ⊃ Gp ⊃..., d(Gp)--> 0 och ∩pGp ≠ Ø, då måttet utrymme B, D är klar. Därför ∩p Cl Gp ≠ Ø. Så, om vi plocka en g Є ∩pGp, sedan g Є Cp för vissa p, sedan ∪pCp = B. Men det skulle innebära att g Є Cl Cp ∩ Cl Gp som är omöjligt eftersom Cl Cp och Cl Gp är osammanhängande. Så, för 1), Q.E.D.

2) för att starta, vi kommer att anta att det {Ap}, p Є P, är en uppräknelig tät, öppna delmängder av B. För att bevisa att ∩pAp är tät, allt vi behöver bevisa är att varje kvarter av alla element i B uppfyller ∩pAp. Med andra ord, för alla valda g Є B och några m > 0, ska vi visa att Nilsson (g, m) ∩ (∩pAp) ≠ Ø.

Om vi anger T = Cl N(g, m/2), då T ⊂ N (g, m). Nu ska vi visa att T ∩ (∩pAp) ≠ Ø. Vi vet att T är en subspace av den stängda metriskt rum, B, D och att T sig är stängd. Så, med hjälp av en tidigare sats som inte kommer att bevisas här, T är en komplett metriskt rum. Om vi anger Gp = T - Ap som är lika med Tp ∩ B - Ap, ser vi att skärningspunkten mellan två stängda delmängder av B, Gp är stängd i både B och T.

Nu antar att Gp är någonstans tät. Då finns det ett element t Є T och ett antal q > 0 sådan att N (t, q) ∩ T ⊂ Cl Gp ∩ T = Gp. Därför, N (t, q) ∩ (T - Gp) = Ø. Vi kan se att t Є T = Cl N(g, m/2). Därför N (t, q) möter Nilsson (g, m/2) på några peka z. Vi väljer sedan q' > 0 sådan att N (z, q') ⊂ N (t, q) ∩ Nilsson (g, m/2). Emellertid, eftersom Ap är tät, N (z, q') skär Ap vid en punkt vi kallar z'. Ja, då måste det att z' Є N (t, q) ∩ T ⊂ Gp. Men, Gp = T - Ap, därav z' Є T - Ap. Det innebär då att z' ∉ Ap vilket är en motsägelse. Gp måste därför vara ingenstans tät i T.

Så fall av den första satsen av sats, 1), som vi redan visat, T ≠ ∪pGp. Det finns alltså n element s Є T - ∪pGp. Därför, sedan Gp = T - Ap, sedan s Є T ∩ (∩pAp) och så T ∩ (∩pAp) ≠ Ø menande Nilsson (g, m) ∩ (∩pAp) ≠ Ø.

Q.E.D.

Lista med symboler:

R - uppsättningen av reella tal, inklusive rationellt, irrationella, positiva och negativa tal samt 0. Inte inklusive komplexa tal som har en imaginär del annat än 0jag, där jag är den imaginära tal √(-1).
B, D - metriskt rum av serie B med metrisk D.
∩pAp - korsningen av alla delmängder A1, A2,..., Ap.
Cl - stängningen av vad som skrivs efter den.
p Є P - p är en del av uppsättningen P.
P - uppsättningen av alla positiva heltal, inte inklusive 0. Denna uppsättning benämns ofta som uppsättningen av naturliga tal och är märkt N, men eftersom tiden det naturlig numrerar sägs innehålla 0, jag har märkt detta set Persson för att undvika tvetydighet. Att inte nämna, jag har använt N inom min etikett för trakten.
∪pCp - unionen av alla de av delmängder C1, C2,..., Cp.
() o - interiören av vad som är inom parentes.
Ø - den tomma mängden; dvs uppsättningen med ingenting i den.
N (b1, m1) - trakten av punkt b1 inom avstånd m1.
⊂... är en delmängd av...
⊃ -... inbegriper...
(d) - diametern av vad som är inom parentes.
--> 0 - går gränsen för vad kommer före symbolen "-->" till 0.

• Relaterade Frågor

• Hur bevisar du likbent triangel sats?

  Likbent triangel sats staterna: Om två sidor i en triangel är kongruenta, sedan vinklar motsatsen till dem är kongruenta här är beviset: Rita triangel ABC med sidan AB kongruent med sidan BC så triangeln är likbent. Vill du bevisa vinkel BAC är kongr

• Hur bevisar du hemförsäkring vad stals?

  Jag funderar på en hemförsäkring och denna fråga slog mig: om en stöld med en tidigare inbrott istället hittade tar över hushållet försäkring. Men hur bevisar jag vad du stulna objekt var värt? Jag måste lämna in fakturan för dessa objekt eller finns

• Hur bevisar du sats 8.11?

  Sats 8.11 i vilken bok?

• Hur bevisar du bpt sats i liknande trianglar?

  Tanke: I en triangel ABC i vilka EF BCAtt bevisa att: AE/EB = AF/FCKonstruktion: Rita EX vinkelrätt AC och FY vinkelrätt ABBevis: ta nyckeltal inom triangeln AEF och EBF och andra par förhållandet område av triangeln AEF och ECF.Vi får AE/EB och AF/F

• Hur bevisar jag resor defekter?

  God dag, med mig på semester (kom tre dagar sedan) en massa saker gå fel. Så till exempel poolen inte byggs fortfarande och helpension som bokfördes, ser jag inte något här. Någon som vet hur du bäst bevisar att resa providern som lovat något fel. Är

• Hur bevisar du Eulers formel?

  Eulers formel står det ejagx = cos (x) + isin (x) där jag är den imaginära tal och x är ett verkligt tal.Det första får vi potensserien av eix med hjälp av formeln:EZ = Σ∞n = o zn/n! där z = jagx. Det ger oss:1 + ix + (ix)2/2! + (jagx) 3/3! + (jagx)

• Hur bevisar jag den operativa användningen av min dator FA?

  HejIdag fick jag min skatt uttalande för 2013. Förutom mitt egentliga arbete arbetar jag deltid som frilansare. Därför har jag köpt 2013 en bärbara och stationära dator jag. Med köpet hade jag ju redan en egen bärbar dator och en stationär dator.Jag

• Hur bevisar man Skatteverket att du får inget underhållsbidrag från far till barnet?

  Statskassan behövs bevis på det - jag frågar mig grad, hur till vända bort den? Det är så offenslichtlich som ingenting kommer in på mitt konto. Är det socialen Ungdom från, eftersom du fick från där UHV? Eller har du en idé på hur du kan skicka ett

• Hur bevisar man vindar den försäkring om av på bekostnad av huset ska komma?

  Kan någon berätta för mig hur du kan bevisa styrkan i vinden och ta en titt på alla? Jag fick kontraktet här och där som är skada endast från en viss vindstyrka kommer att accepteras. Var ska jag få nu efter en storm hur stark han var? Kontrollerna a

• Hur bevisar man en "kärlek match"?

  I vår krets av vänner finns det några som faktiskt ville gifta sig nästa år. Nu identifieras en dödlig sjukdom i honom, med vilken han har bara en kort tid att leva. Han vill gifta sig nu veta omedelbart hans partner säkrade. På Internet läst jag men

• Hur får man en SAT undantag?

  Du måste ansöka om en SAT (eller ACT) avstående genom din High School rådgivare. Du kommer att få flera att använda på din online-registrering. Du kan inte använda ett undantag på en Efteranmälan.

• Hur bevisar du att någon är en sociopat?

  Uppdatering: Det är nu möjligt att bevisa förekomsten av sociopathy (psykopati) med hjälp av en kombination av en EEG (elektroencefalogram) och en speciell typ av MRI (magnetisk resonansen tänkbar) som visar tydliga bilder av hjärnan i arbetet. Skill

• Hur bevisar du en negativ som inte kan bevisas?

  Ganska mycket detta är per definition omöjligt; till exempel Betrand Russell postulerade en tekanna som kretsar runt solen - hur vill du bevisa det var inte det? Ett annat exempel skulle vara att hävda att det fanns ett sandkorn någonstans med ditt n

• Hur bevisar du att Gud finns?

  Det finns tiotals bevis för Guds existens. Dessa har registrerats i århundraden och är lätt att slå upp. Men detta ämne i slutändan blir en av personliga övertygelse, eftersom våra innehav av fri vilja mandat att det vara möjligt att lägga fram argum

• Hur använder Jonathan swift satir i ett anspråkslöst förslag?

  Han använder mestadels "parodi" som är en typ av satir. Parodi är i grunden att göra narr av något annat, att skapa form av en "humoristisk" känsla för den. Det är precis som parodi för Twlight, som någon skrev att göra narr av det. I

• Hur bevisar du att din fru att du inte otrogen?

  Det finns inga riktigt sätt kan bevisa att. I alla relationer dess allt om litar på varandra. Om hon inte tror du al du kan göra är att säga du inte är fusk.  Bra om du har att ställa den frågan då sannolikt du är fusk, men om du är en av de få män s

• Hur bevisar du att inte du är rasist?

  Inte göra eller säga något som är rasistiskt. Om du går överbord försöker bevisa hur rasistiska du inte är, kan det ses som ett problem som om du nedlåtande oavsett vilken ras det är, och som om det inte är från hjärtat.

• Hur får du dina SAT poäng från åtta år sedan?

  Om du tog lagen före september 2006, begära dina poäng i en av tre sätt för $17:Via telefon: Ringa helpdesk ACT 8:30 till 5:00 CT: 319-337-1313. För en extra $12, kan de prioritera din sökning och få poäng till dig snabbare.Online: Begär dina poäng o

• Hur du studerar för SAT?

  Det finns många online resurser både gratis och för pengar. Mina personliga favoriter är:www.perfect800.com-den inte bara har frågor och svar, men också förklaringar till varför du fått frågor om bakfoten.HS.beestar.org - denna webbplats har gratis o