Hur gör du faktor trinomials genom att gruppera?

Hur gör du faktor trinomials genom att gruppera?

Factoring trinomials är inte annorlunda än faktorisering av polynom med undantag för ett ytterligare steg.

När factoring trinomials vi letar efter standardformulär för ax² + bx + c, som senare kommer att användas för att fastställa a, b och c för användning i kvadratiska formel.

Låt oss ta en titt på ett exempel trinomial: x2+ 16 x + 32

Du kan se detta som en trinomial eftersom den består av tre (tri) villkor (nominellt) som är x2, 16 x och 32.

I allmänhet kräver gruppering att vi har 4 termer som antingen har en gemensam faktor för alla fyra villkor, eller en gemensam faktor som delas mellan två uppsättningar med två termer. dvs (x² och 16 x båda har en gemensam faktor x och y³, 16y² och xy² båda har en gemensam faktor för y²)

Lösa genom trinomials genom att gruppera kräver lite mer matematiska process för att uppnå vår räknas antal. Vi behöver, för detta problem, en enkel matematisk ekvation:

AC = a + c = b

Vilket innebär att när allt vi multiplicera antalet i den en plats och c plats, de siffror vi leda måste matematiskt lägga till (eller subtrahera) att göra b. I vår tidigare ekvation: x2+ 16 x + 32 vi tittar på den formeln ax² + bx + c.

  • en = x (eller 1)
  • b = + 16
  • c = + 32

Alltid uppmärksam på drift tecken. När trinomials det är en enorm skillnad mellan x2+ 16 x + 32 och x2-16 x-32.

Titta på våra tidigare ekvation: ac = a + c = b, vi säger att 1 • 32 måste ha några faktorer att när lagt lika för 16.

Låt oss ta en titt på 32.

  • 32 • 1 = 32 men inte 31 + 1 = 16? Nej.
  • 16 • 2 = 32 men inte 16 + 2 = 16? Nej.
  • 8 • 4 = 32 men inte 8 + 4 = 16? Nej.

Eftersom vi har testat detta långt och har hittade inga siffror som kan resultera i 16, vi skulle dra slutsatsen att problemet är Prime. Vilket betyder att den kan inte vägas.

Nu ska vi ta en titt på ett problem som kan vägas.

x²-10 x + 21

Igen, måste vi räkna ut två nummer att när en • c multipliceras sina tillägg är lika med -10. Kom ihåg att hålla ett öga på dina skyltar.

I vårt fall en (1) • c (21) = 21. Kom ihåg när jag sa att vi måste vara uppmärksamma på tecken? Detta är mycket viktigt att detta problem eftersom en • c måste vara lika med till -10.


21

----------
-1 • -21 = -21 men inte -1 + -21 = -10? Nej.
-2, går inte in i 21 jämnt så vi hoppa över detta nummer.
-3 • - 7 = 21 men inte -3 + (-7) = -10? Ja.

Nu när vi har hittat, uppmärksamhet vad min professor kallas, "de magic numbers" vi måste sätta dem i vår ekvation, på tecken som vi har använt.

Vårt ursprungliga problem var:

x²-10 x + 21 nu kan vi ersätta våra "b" med -3 och -7, att hålla variablerna.

x²-3 x - 7 x + 21

Märker något om våra problem nu? Nu har vi det polynom som vi behöver för att kunna gruppera och om du minns så långt som en • c = a + c = b, om vi tar-3 x + (-7 x), vad får vi? -10 x, vårt "b" nummer. Så kan vi börja factoring vårt problem ut som något polynom. Vi börjar med kontroll för att se om det finns en GCF (största gemensamma faktorn) på våra problem. Tre av villkoren har XS men fjärde inte, två av villkoren har 3: s som en gemensam faktor men de andra två inte. Så skulle vi säga att GCF för detta problem är 1.

Bryta villkoren ner i sina minsta beståndsdelar:

  • x² = x • x
  • -3 x =-3 • x
  • -7 x =-7 • x
  • + 21 = 3 • 7

Titta på två första termerna x² och -3 x, vilka termer är gemensamma för detta problem?

  • x² = x • x
  • -3 x =-3 • x

Varje termin har en "x" variabel, detta är vår "yttre nummer". x(....). Vi är kvar med x och -3, som är vår "inside nummer" x (x - 3)

Nu vi ser på de andra två termerna, -7 x och + 21

  • -7 x =-7 • x
  • + 21 = 3 • 7

Vad som är gemensamt för dessa två? 7. Så är våra "yttre nummer" - 7(...). Vad har vi kvar? 3 och x. Nu, minns vi vill ha vår "inre tal" för att ha samma tecken, som om man tittar på den ursprungliga uppdelade form av:

  • x • x - 3 • x - 7 • x + 3 • 7

-7, kommer att göra 21 en negativ när vi dra ut. Så vända vi helt enkelt tecknet inom andra parentes från positiv till negativ.

Våra resultat? 7 (x - 3) - x (x - 3).

Titta på dessa problem nu som (x+a)(x+b) där (x + a) är vår "inre nummer" och (x + b) är vår "yttre nummer". Så inre tal skulle vara (x - 3) och våra yttre nummer skulle vara (7 - x), men för matematiska utseende vi är knäppa som yttre siffrorna för att se våra inre tal (x - 7).

Så nu vi är kvar med våra räknas trinomial (x - 3)(x-7).

"Men hur vet du ditt svar är rätt?" Detta är en mycket bra fråga.

F.O.I.L eller första, yttre, inre, sista villkor är vad vi använder på faktorer för att kontrollera att vår lösning är korrekt.

First: (x - 3)(x - 7) = x • x = x²


Yttre: (x - 3) (x - 7) = x • -7 = -7 x


Inner: (x - 3)(x - 7) = -3 • x = -3x


Last: (x - 3)(x - 7) = -3 • -7 = +21


Vårt problem sätta ihop: x²-7 x - 3 x + 21, kombinera som termer är x²-10 x + 21.

Grattis, har du lärt att faktor trinomials och kontrollera om din lösning är korrekt.