Om A är en ortogonal matris varför är det är inversen också ortogonala?

Om A är en ortogonal matris varför är det är inversen också ortogonala?

Första låt oss vara tydliga på definitionerna.
En matris M är ortogonala om MT = M-1
Eller multiplicera båda sidor med M och du har
1) M MT = JAG
eller
2) MTM = JAG

Där jag är enhetsmatrisen.

Så vår definition berättar en matris är ortogonala om dess transponera är lika med dess invers eller om produkten (vänster eller höger) av den matris och dess transponera är identitet.

Nu vill vi visa varför inversen av en ortogonal matris också är ortogonala.

Låt A vara ortogonala. Vi antar det är fyrkantiga eftersom den har en invers.

Nu vill vi visa att A-1 är ortogonala.
Vi måste visa att inversen är lika med transponera.
Eftersom A är ortogonala, A = AT
Låt oss multiplicera båda sidor med A-1

A-1 A = A-1 AT
Eller A-1 på = jag
Jämför detta med definitionen ovan i 1) (M MT = jag)
ser du hur A-1 nu passar in på definitionen av ortogonala?
Eller jagar vi kunde har mångdubblats till vänster och sedan skulle vi ha anlänt på 2) ovan.