Vad är "jämställdhet axiom"?

Vad är "jämställdhet axiom"?

Säger att det finns en relation ~ mellan de två objekten ett och b sådan att en ~ b. Vi kallar ~ en ekvivalensrelation om:

i) en ~ en.
ii) om en ~ b. sedan b ~ a.
iii) om en ~ b och b ~ c, då en ~ c.

Där c är ett annat objekt.

De tre egenskaperna ovan kallas reflexiv, symmetrisk, och transitiva egenskaper. Var dessa tre egenskaper alla som behövdes för att definiera relationen mellan könen, kan vi säkert kalla dem axiom. En ytterligare egenskap krävs dock först. För att visa dig varför, ska jag ge ett exempel.

Överväga relationen, "är parallell med," företrädd av. Vi ska kolla egenskaperna ovan för att se om är en ekvivalensrelation.

i) a a.

Tro det eller ej, är huruvida detta påstående är sant en pågående debatt. Många anser att parallella relationen inte är definierat för bara en linje, eftersom det är en jämförelse. Tja, om det var sant, skulle då du ha att säga samma sak för varje binär ekvivalensrelation; t.ex. en triangel kunde inte vara liknar sig själv, eller, ännu mer sig uttrycket en = en skulle behöva kastas ut genom fönstret också. Men bara för att vara formell, vi använder följande definition för parallella linjer:

Två linjer är inte parallella om de har exakt en sak gemensamt; annars är parallella.

Så med denna definition i handen, jag) håller för.

ii) om ett b, sedan b a. True.

iii) om en b och b c, sedan en c. sant.

Således, relationen är en ekvivalensrelation, men två parallella linjer verkligen behöver inte vara lika! Så, vi behöver en ytterligare egenskap att beskriva en jämställdhet relation:

iv) om en ~ b och b ~ en, sedan en = b.

Låt oss kolla iv) och se om det fungerar för vårt förhållande:

Om en b och b en, sedan en = b. falskt. Men håller det för jämställdhet relationen?

Om en = b och b = en då en = b. sant. Detta är vad som kallas egenskapen antisymmetriska, och är vad som skiljer mellan könen från likvärdighet.

Men vänta, vi har ett problem. Vi använde förhållandet = i en av våra "axiom" jämställdhet. Det inte fungerar, för jämlikhet var inte del av undertecknandet av det formella språket vi använder här. Förresten, undertecknandet av det formella språk som vi använder är ~. Så har alla andra icke-logiska symboler som vi använder till antingen definieras, eller härrör från axiomsna.

Tja, har vi tre möjliga sätt av detta. Vi kan antingen:

1) lista ut ett sätt att axiomize den = relation med hjälp av den ~ relation.
2) definiera den = relation.
3) Lägg till = till vårt språk signatur.

Tja, 1) är inte möjligt utan användning av apparater, och eftersom förekomsten av uppsättningar är inte del av vår signatur heller, vi måste definiera en uppsättning eller lägga till den i vårt språk. Detta är inte mycket svårt att göra, men jag kommer inte att bry sig, eftersom resultatet är vad vi kommer att få från 2).

Hur som helst, på tal om 2), låt oss definiera =.

För alla predikat (även kallad egenskaper) P, och för alla en och b, P(a) om och endast om P(b) innebär att en = b.

Med andra ord, för en för att vara lika med b, all egendom som någon av dem har också måste vara en egenskap för den andra. I det här fallet betyder egenskapen termen exakt vad du tycker betyder; t.ex. röd, även, tall, ungerska, etc.

Så, miljoner dollar frågan är, genom att definiera =, är våra fastigheter nu officiellt axiom? För tre egenskaper, är svaret nej. In fact, eftersom vi just definierade =, har vi vände egenskaper ii), iii), och iv) från ovan i satser, inte axiom. Varför? Eftersom egenskapen iv) fortfarande har som = relation i den, som vi hade att definiera. Så, iv) är ett sant uttalande, men vi var tvungna att använda ett annat uttalande för att bevisa det. Det är definitionen av en sats! Och sedan kvalet för iv)'s sanningen var att en ~ b och b ~ en, vi kan nu fritt ersätta b med en i ii), vilket ger oss "om en ~ en, sedan en ~ en." Tja, nu ii)bevisade också, men vi var tvungna att använda iv) till gör den. Således både ii) och iv) är nu satser. Slutligen iii) kan bevisas i ett liknande var som ii) var, så det är en sats.

Men vår definition av = endast med en till b, det aldrig med en till sig själv. Alltså, vi måste inkludera jag), från ovan, som ett axiom.

Bara för kicks, låt oss försöka planera 3) alltför.

Tanken här är att göra = en del av vår signatur, vilket innebär nu vi inte behöver definiera det. I själva verket, kan inte vi definiera det om vi sätter det i vår signatur; eftersom genom att placera det det, antar vi att det är förstått utan definition. Därför iv) måste nu antas vara sant, eftersom vi har ingen möjlighet att bevisa det; Det låter som ett axiom för mig! Men precis som förr, vi kan bevisa både ii) och iii) med hjälp av iv), så de få förpassas tillbaka till landet av satser och egenskaper. Intressant ändå, iv) gör inget omnämnande av reflexivitet, och våra formella definitionen av = är borta, vi har inget sätt att bevisa jag). Än en gång, måste vi anta att det är sant. Således jag) är ett axiom.

Så, för att parafrasera våra två skilda situationer:

För att relationen ~ betraktas en jämställdhet förhållandet mellan objekten ett och b, ett axiom måste uppfyllas om vi definierar =:

1) för alla, en ~ en,

samt tre satser:

1) om en ~ b, sedan b ~ en

2) om en ~ b och b ~ c, då en ~ c, där c är ett annat objekt

3) för alla en och b, om en ~ b och b ~ en, sedan en = b.

Dessutom,

För att relationen ~ betraktas en jämställdhet relation mellan objekt en och b, två axiom måste uppfyllas om vi sätter = i vår signatur:

1) för alla, en ~ en

2) för alla en och b, om en ~ b och b ~ en, sedan en = b,

samt två Egenskaper:

1) om en ~ b, sedan b ~ en

2) om en ~ b och b ~ c, då en ~ c,

där c är ett annat objekt.

Gjorde en rätt ovan inkluderar "=" till våra formella språk, men "=" är jämlikhet, så han kom faktiskt med en ganska bra axiom innan han avslutar med cirkulär ser en.
Hans axiom: vi säger ~ är en jämställdhet relation innebär när x ~ y, för varje tillstånd P, p iff P(y)
Axiom är fetstil.

Efter diskussion med min matte prof. i morse blir det axiom egenskaper följer från denna mer formell definition. Det behöver inte ta med några fler saker då vad vi redan har för det formella språket.
Vi säger ~ är en jämställdhet relationen på ett som A om (en uppsättning är något som tillfredsställer de uppsättning axiomsna)
För alla element i A, en ~ en.

Om följer att P(a) är sant och y ~ en, då P(y) är också sant, tvärtom. Eftersom i detta fall y måste vara en att fungera.

Du kan argumentera väl definitionen för en ekvivalensrelation har detta uttalande i det alltför, betyder det att likvärdighet är jämställdhet?
Nej! Det är tvärtom, jämställdhet är likvärdighet. Jämställdhet är mest speciella fallet för något samband, säger *, där en * en.

Ta en ekvivalensrelation, säger isomorfi för anföra som exempel (vet inte vad det ordet betyder? Google eller som det på denna webbplats), vi vet någon linjär avbildning T är isomorfa till T, i synnerhet denna isomorfi är jämställdhet. Det vore ju tråkigt om isomorfi är JUST jämställdhet, så det är mer.

Andra axiomsna i en definition av ett förhållande är att skilja dem från jämlikhet, eftersom jämlikhet är den mest grundläggande. Jämställdhet måste alltid utgå ifrån, det att finnas alltid, någon annan relation är byggd på den. Det är det mest kraftfulla förhållandet, eftersom alla relationer har det. (Jag menar alla förbindelser, säger *, så att en * en för alla ett måste på minst vara jämställdhet)