Vad är motståndskraftigt av den '' grundläggande teorem av Algebra''?

Vad är motståndskraftigt av den '' grundläggande teorem av Algebra''?

Fundamentalsats Algebra:

Om P(z) = Σnk = 0 akzk där ak Є C, n ≥ 1, och en ≠ 0, då P(z0) = 0 för vissa z0 Є C. Beskrivande, säger detta att alla nonconstant Polynom över komplext tal utrymme, C, kan skrivas som en produkt av linjära faktorer.

Bevis:

Först och främst måste vi tillämpa Heine-Borel sats till C. Heine-Borel sats säger att om S är en sluten och begränsad i en m-dimensionell euklidiska rum (skrivs Rm), då S är kompakt.

Ovanifrån, P(z) = Σnk = 0 akzk där ak Є C, n ≥ 1, och har en ≠ 0. Låt m = inf {| P (z) | : z Є C} där inf är infinum, eller den största undre gränsen av uppsättningen.

Från triangeln ojämlikhet, | P (reit) | ≥ rn (|an| - r-1|an-1| -... - r-n|a0|),
så limr--> ∞ | P (reit) | = ∞. Därför finns det ett reellt tal R som | P (reit) | > m + 1 när r > R.

Om S = {reit: r ≤ R}, då S är kompakt i C, av Heine-Borel sats; och låt m = inf {| P (z) | : z Є S}. | P| är en kontinuerlig och reellvärda funktionen i S, så, med hjälp av resultatet från en annan bevis inte gjort här, den har ett minsta värde på S; dvs, det finns ett värde för z0 Є S som gör | P (z0) | = m. Så om m = 0 då satsen bevisas.

Vi kommer att visa att m = 0 genom att bevisa att m kan inte lika något annat, och eftersom vi vet att m finns, det har inget annat val än att vara noll. Så, antar att m ≠ 0 och låta Q(z) = P (z + z0)/P(z0), z Є C.
Q är därför ett polynom med grad n och | Q (z) | ≥ 1 för alla z Є C.
Q(0) = 1 så Q(z) kan uttryckas via Perssons serier som:
Q(z) = 1 + bkzk +... + bnzn där k är det minsta positiva heltal ≤ n sådan att bk ≠ 0.
Eftersom |-|bk|/bk| = 1, det finns en t0 Є [0, 2π/k] sådan att eikt0 = - |bk|/bk.
Sedan Q(reit0) = 1 + bkrkeikt0 + bk + 1rk + 1ei (k + 1) t0 +... + bnrneint0
= 1 - rk|bk| bk 1rk + + 1ei (k + 1) t0 +... + bnrneint0.
Så om rk|bk|< 1="" then="" |q(reit0)|="" ≤="" 1="" -="" rk(|bk|="" -="" r|bk+1|="" -="" …="" -="">
Det betyder att om vi plocka en liten nog r, vi kan göra | Q (reit0) | ≤ 1 som motsäger uttalandet ovan som | Q (z) | ≥ 1 för alla z Є C. Därför håller inte m ≠ 0 och P(z0) = 0

Q.E.D.

En annan bevis anta att P har inga nollor. Då kan vi definiera funktion f(z) = 1 / P(z), och f är analytisk. Av beviset ovan tenderar P(z) att infinity eftersom z tenderar att oändlighet; f(z) syftar således till 0 eftersom z tenderar till oändlighet. Så finns det en skiva S sådan att f, begränsat till utsidan av S, avgränsas. Också av beviset ovan avgränsas f inuti skivan också; därför avgränsas f. Nu tillämpar vi ett teorem kallas Liouvilles sats, som säger att någon analytisk funktion som definieras på alla C och avgränsas måste vara en konstant. Så f är en konstant; P därför konstant. Men vi förutsatt att P inte är konstant, så det är en motsägelse.

(Att bevisa Liouville's sats: antar att M är en bunden för den funktion f, dvs f (z) |< m="" for="" all="" z.="" suppose="" a="" and="" b="" are="" complex="" numbers,="" and="" we="" want="" to="" show="" f(a)="f(b)." use="" the="" theorem="" that="" f(a)="integral" of="" f(z)/(z-a)="" (2="" *="" pi="" *="" i)="" around="" the="" circle="" of="" radius="" r="" and="" centre="" 0.="" then,="" if="" r="" is="" sufficiently="">
|f(b) - f (a) |
= | integrerad, runt cirkeln, av (f(z) * (1/(z-b) - 1/(z-a))) | / (2 * pi)
= | integrerad runt krets av (f(z) * (b-a) / ((z-a)(z-b))) | / (2 * pi)
<= (m="" *="" |b-a|="" ((r-|a|)(r-|b|))="" )="" *="" (2*pi*r)="">
Den sista raden använder formeln |integral|<= |pathlength|="" *="" |maximum="" value|.="" then="" we="" get="" |f(b)="" -="" f(a)|=""><= m="" *="" |b-a|="" *="" r="" ((r-|a|)(r-|b|)).="" letting="" r="" tend="" to="" infinity,="" we="" can="" prove="" that="" |f(b)-f(a)|="" is="" as="" small="" as="" we="" like;="" therefore="" f(a)="">
)