Vad är den geometriska tolkningen av kurvintegralen?

Vad är den geometriska tolkningen av kurvintegralen?

En rad integrerad eller en sökväg eller en kurva integrerad är en funktion som används när vi integrerar längs en kurva. Det första steget är att parametrize kurvan om den inte redan i parametriska form. Så låt oss titta på de allmänna kurva c i sin parametriska form.
Bokstaven t står för tid.
x=h(t) och y=g(t) så både x och y är funktioner av tid. (Vi antar att kurvan är slät)
Vi kommer att integrera över ett intervall [a, b] så a≤t≤b

Nu för att förstå vad det betyder geometriskt, låt oss titta på en gemensam geometriska form, cirkeln. x2 + y2 = 16 är ekvationen för en cirkel centrerad på beskärningen med radien 4. Vi kommer att integrera xy4 längs hälften av cirkla. Vi behöver det först i parametriska form. Så x=4cos(t) och y=4sin(t). Kom ihåg detta cirkeln blir vår domän. Precis som vi hitta bestämda integraler över ett intervall, använder vi kurvan som vår liknande domän.
Vi kommer att integrera över halva cirkeln så behöver vi specificera t så att vår kurva kommer att spåra ut halva cirkeln. Vi kan låta - pi/2≤t≤pi/2
Nästa beräkna vi ds så vi måste hitta dx/dt och dy/dt.
Så dx/dx =-4sint och dy/dt = 4cost.
Nu vet vi att ds = kvadratroten ur (16sin2 t + 16cos2 t) dt = 4dt. (ds används till att Visa vi rör oss längs kurvan)
Så integralen av xy4 längs en allmän kurva c, blir integralen av cos (t) sin4 (t) dt
integrerad mellan - pi/2 till pi/2.
Resultatet av integration längs denna väg är 8192/5 så nu ber vi vad innebär detta att geometriskt? (Tog lite tid att komma hit, men vi behövde exemplet)

Tänk dig att sätta några punkter på halv cirkel kurvan vi använt. Säga peka 0, 1, 2, 3, 4 etc. Nu dra vektorer från 0 till 1, 1 till 2, 2 till 3 etc.
Vi har delat vår kurva i underkurvor, vektorer. Det är som att dela in ett intervall i rektanglarna du har ofta sett för Riemann integraler och Riemann belopp, istället för att titta på områdena av varje av dessa rektanglar, vi tittar på f(pn) där pn är punkterna 0,1,2,3 etc nämns ovan. Precis som vi lägger upp summan av områdena av rektanglarna för ett Riemann belopp, summera vi värdena för funktionen på varje punkt på vår kurva, i detta fall en halv cirkel.
Nu är om vi tar gränsen som vektorer få mindre eller eftersom längden på subintervals längs kurvan tenderar mot 0, kurvintegralen

Banan delas in i en månghörnigt sökväg. Vi låter längden eller mesh eller partitionen gå till 0. Du kan göra detta i 2 eller 3 dimension utrymme och vi kan integrera över ett vektorfält.

Detta sista exempel kan du se ett ännu mer geometriska exempel. Geometrin är ibland svårt att se i exempel som den jag gav ovan. I den här är det ganska lätt.
anta att vi har en funktion av två variabler som är bara en plåt ovanför XY planet. Låt oss titta på f (x, y) = 5 och vi vill ta linjen integrerad av denna funktion runt den stängda banor som är enhetscirkeln x 2 + y2 = 1. Geometriskt, är linje integralen området av en cylinder med längden 1 och radie 5.
Du kan kontrollera det här är 10Pi
(kom ihåg att ytan på en cylinder är 2Pirh, som är 2Pi5x1 = 10Pi)
Här är lättare att se geometriskt eftersom f (x, y) = 5 är ett blad ovanför x-y planet som är lätt att se. Om vi utvärdera som längs enhetscirkeln, kan då vi se hur cylindern måste vara längd eller höjd 1 och radie 5 från bladet. För att knyta detta till vad vi sade tidigare, Tänk på att dela in sökvägen, enhetscirkeln, i små underbanor eller månghörnigt sökvägar och utvärdera f (x, y) = 5 på var och en av dessa sökväg. För varje en får vi en liten bit av cylindern. Om du har svårt att se detta, anser den lilla bit av cirkeln mellan t = 0 och t = pi/1000
En mycket liten sektor. Nu när vi tittar på värdet av funktionen på den mycket Tänk sektorn, har vi en paj formade sektorn med radie 5. Vi lägger upp massor av dessa och få cylindern.
Linjeintegraler används också ofta att hitta arbete kraft länge en kurva.
En sista sak för att förstå geometrin. Eftersom vi pratade om vektorer och dela upp kurvan i vektorer, låt oss titta på det geometrin.
Pricken produkt av någon två vektorer är naturligtvis positivt om punkten i samma riktning och noll om de är vinkelräta. Det är negativt det de pekar i ungefär mittemot riktningar. Kurvintegralen lägga geometriskt dot produkter. Om F är en vektor sätter in och DeltaR är en förskjutning vektor. Vi tittar på pricken produkt av F och DeltaR lång väg. Om omfattningen av F är konstant, kommer att linje integralen vara ett positivt tal om F mestadels pekar på samma sätt som DeltaR och negativa om
F pekar i motsatt riktning. Om F är vinkelrät på alla tider, kurvintegralen har värdet noll.
Vi bör nämna en sista sak (det är verkligen sista)
Tänk dig en bit snöre eller tråd. Låter som att den kurva som vi har talat om liknande halva cirklar etc. Nu antar att vi har en funktion f(x,y) berättar som massan av ståltråd eller snöre per enhet längd. Massan av strängen om-raden integralen av f(x,y) längs strängen.

En vanlig vardag integral är y (en funktion av x) som är bara summan av alla värden av tunn rektanglar y gånger dx för alla små bitar av dx som utgör x-axeln. Det kan betraktas som en kurvintegralen längs linjen kallas x-axeln. Men du kunde göra en integrerad längs en annan linje eller kurva, förutsatt att du vet värdet av funktionen på alla punkter på linjen eller kurvan. Och som kallas en integrerad. I stället för fragment dx har du ett fragment ds där s är din position längs linjen, precis som x beskrivs där du är på x-axeln.