Vad är noll dividerat med noll?

I vanliga matematik, kan du inte dela med noll. Det anses Odefinierad.
Tänk de två situationerna:
För inversen av multiplikation 0/0 = a, en kan vara valfritt antal att tillfredsställa en x 0 = 0. På samma gång, uppdelning av något annat nummer, a/0 = b, det finns inget nummer en sådan att b x 0 = en.
---

I nästan alla kända Algebraisk struktur, 0/0 är en odefinierbar sikt. Detta innebär att, baserat på de regler som styr de flesta av de matematiska system vi använder, det är inte bara en enda, definierbara värde på sikt 0/0, och tro det eller ej, anledningen till detta beror inte på att vi division med noll, eftersom division relationen definieras av ett annat förhållande, multiplikation. Du ser, när vi talar om "klyftan", vad vi egentligen menar är "multiplicera med inversen." Till exempel, x / y egentligen betyder, x * y-1 där y-1 är inversen av y. Inversen av en rad är definierad vara numret som, när den multiplicerats med den ursprungliga nummer, är lika med en; t.ex. x * x-1 = 1. Nu, i de Algebraiska strukturer vi är alla bekanta med något tal som multiplicerat med noll är definieras att vara lika med noll; t.ex. 0 * x = 0. Så, använda dessa definitioner, vad gör division med noll, vilket faktiskt innebär att multiplicera inversen till noll, lika? Med andra ord x * 0-1 =? Ja, att isolera x, skulle du behöva avbryta ut 0-1, men hur? Som alla som har tagit någon typ av algebra vet, metoden för isolering i dessa fall skulle vara att multiplicera 0-1 genom 0 eftersom det, som ovan nämnts, x * x-1 = 1, alltså 0 * 0-1 = 1. Men vänta, inte jag också bara säga att 0 * x = 0? Det skulle innebära att 0 * 0-1 = 0, vilket skulle innebära att 0 = 1. Det, mina vänner, kallas en motsägelse. Noll är inte lika Därför kan inte på sikt 0-1 definieras.

Detta svar kan tyckas otillfredsställande att vissa människor. Det fick bli ett sätt att komma runt denna odrägliga motsägelse, rätt? Faktiskt, det finns! I grenen av matematiken kallas abstrakt algebra, finns en Algebraisk struktur kallas ett hjul som är nödvändiga att ha division som överallt i det definieras. Därför i denna särskilda Algebraisk struktur, 0/0 måste finnas annars struktur är inte ett hjul.

Men vänta, 0/0 är odefinierat, rätt? Hur kunde du någonsin uppfyller detta krav för ett hjul då?

Det är lätt; allt du behöver göra är att definiera det! Specifikt, du ge denna kvantitet, 0/0, vissa specifika algebraiska egenskaper, och sedan, om det någonsin kommer upp i en ekvation, du manipulera det inom ekvationen egenskaper du har gett den. Är inte så bekvämt!

"Befängt!" kan du säga. "Du kan inte bara göra något som har inga materiella eller rationell analog, som är otrogen!" Väl min kära skeptiker, kan jag rikta er uppmärksamhet på följande lilla underverket, √(-1), annars känd som "den imaginära tal," eller jag. Just det, jag sa imaginära, som i, "finns inte." Du ser, inget multiplicerat med sig själv i vår fina lilla värld av matematiska rationalitet kan möjligen vara ett negativt tal. Om inte, naturligtvis, definierar du något för att vara som sådan. Då... Presto! Absurt är nu verklighet!

Låt oss tala om imaginära tal för ett ögonblick. Vår nyligen definierade men fortfarande ganska imaginära vän, jag, var tydligen inte innehåll på bara ha en trevlig, bekväm liten existens inom sfären av skymma matematik, oh nej nej nej. Det beslutat att trotsa logik och bli ett ganska vanligt tal; poppar upp överallt, även i (du kommer att älska det här) faktiska, verkliga applikationer. Exempelvis alla som någonsin har gjort någon form av elektromagnetisk vågrörelse analys, genom områdena ingenjörsvetenskap, fysik, etc., älskar jag och kommer gärna böja och kyssa sina fötter på kommando (Gud välsigna ejag(ωt-kr)). Varför? På grund av mycket tankeväckande relationen som det ges till oss kallas "Eulers formel:" ejagθ = cos(θ) + isin(θ). Steg tillbaka en minut och titta på det. Det irrationella, reella tal, e (2,71828...) exponentiated till produkten av ett reellt tal, θ och imaginära tal, jag, är lika med ett enkelt trigonometriska uttryck som innefattar två grundläggande funktioner. I själva verket (kan du sitta ner för detta), om värdet på θ råkar vara π (3.14159...), en annan irrationella, reella tal, den trigonometriska uttrycken på höger sida av Eulers formel minskar till exakt -1. Låt oss skriva som: ejagπ = -1. Vi kallar "Eulers identitet," även om det borde egentligen heta, "som den mest otroliga matematiska uttryck, någonsin!"

Men nog om jag, låt oss gå tillbaka till vår nyaste vän, 0/0. Som nämnts tidigare, problemet med 0/0 är inte det faktum att vi division med noll, det är det faktum att division relationen definieras av multiplikation. Tja, Hur fixar vi det? Enkelt! Ändra definitionen av klyftan! I stället för x / y = x * y-1, det kommer nu att lika x * / y, där "/" definieras som unära operator analogt med ömsesidiga operationen.

OK, en annan snabbt undan. En unär operator är en operatör som bara behöver en ingång till arbete. Till exempel behöver du bara ett nummer att utföra operationen av negation. Till exempel, är förneka nummer 1 helt enkelt -1. Detta motsätter sig en binär operator. Binära operatorerna är många av de killar vi är alla bekanta med; som tillägg, multiplikation, subtraktion, etc. För att göra detta tydligare, överväga tillägg operationen. Det vore ingen mening att skriva 1 +. Du behöver ett annat nummer efter den "+" för att tillfredsställa operationen; 1 + 2, till exempel, därav termen binära.

Så, med våra pålitliga nya unär operator "/" i hand, vi ska titta på hur många 0/0 igen. 0/0 definieras inte längre som 0 * 0-1 som det var innan. Nu, det anges som 0 * / 0, och i vår värld, inte bara gör/0 ≠ 0-1, men 0 * x behöver inte heller lika med 0. Inte abstraktion kul?! OK, så 0/0 är officiellt definierat, nu Låt oss ge det några egenskaper!

Vad sägs om, x + 0/0 = 0/0 och x * 0/0 = 0/0. Toppen! Varför inte gå vidare och göra en mer allmän regel också: (x + 0y) z = xz + 0 y. Okej! Tja, skulle vi är verkligen iväg en bra start, jag säga. Jag lämnar fullständig härledning av algebraiska strukturen känd som hjulet att experterna, se motsvarande länk nedan.

Jag slutar detta svar med en sista anmärkning för dem som tror att hela begreppet "definierar den odefinierade" är löjligt. Överväga de följande uppsättningarna siffror: primtalen, P; uppsättningen av alla reella tal med exakt två naturliga talet faktorer.
Det naturlig numrerar, N; uppsättningen av alla heltal större än eller lika med 0.
Heltalen, Z; uppsättningen av alla reella tal utan rester eller decimaler.
Det rationellt numrerar, Q; uppsättningen av alla reella tal som kan uttryckas som ett heltal dividerat med ett nollskilda heltal.
Irrationella tal, jag; uppsättningen av alla reella tal som inte är rationell.

Nu överväga detta:
Imaginära tal, jag, är odefinierade i jag.
Det förhållandet pi eller π (3.14159...), är odefinierade i Q.
Den gemensamma andelen 1/2 är odefinierade i Z.
Alla negativa nummer, inklusive -1, är odefinierade i N.
Nummer 4 är odefinierade i P.

Men är dessa "odefinierade" nummer knappast mystiska till oss. Vi breddat bara vår definition av definierbara att inkludera "odefinierade" de, och livet blev bra igen. 0/0 är inte riktigt, men nästan, samma idé.
Odefinierat, du inte kan dela med noll.