Vad är eigenfunctions av Laplace operatören i 1D?

Vad är eigenfunctions av Laplace operatören i 1D?

Laplace operatören i n dimensioner är i allmänhet

∇2 = (∂/∂x1) 2 + (∂/∂x2) 2 +... + (∂/∂xn) 2,

och eigenfunctions lösningar f (x1, x2,..., xn) av den partiella differentialekvationen:

∇2F = - λf,

där egenvärden - λ är att vara beslutsamma. Ofta, kommer uppsättningen lösningar att begränsas av tanke randvillkor (vilket begränsar möjliga värden för λ), men för att denna fråga som ingen spelar roll.

I en dimension ger detta en enkel linjär differentialekvation med konstanta koefficienter:

d2f/dx2 = - λf

som kan lösas med hjälp av standard, elementära tekniker. För λ > 0 kan lösningarna skrivas:

f(x) = en cos((√λ) x) + B sin((√λ) x)

och för λ<>

f(x) = en exp((√-λ) x) + B exp(-(√-λ) x)

där i varje fall A och B är godtyckliga konstanter. Med hjälp av Eulers formel

exp(IA) = cos(a) + i sin(a)

lösningarna i båda fallen kan skrivas som en linjär kombination av exponentialfunktioner exp((±i√λ) x).

I fallet att λ = 0, lösningarna är raka linjer:

f (x) = Ax + B.