Vad är ekvationen för övertoningen för en funktion?

Ekvationen för lutningen av en linjär funktion kartlagts i en tvådimensionell, Cartesian koordinerat utrymme är som följer.

Det enklaste sättet är att antingen härleda funktionen du använda övertoning formel

(y2 - y1) / (x 2 - x 1)

var en samordna är (x1, y1) och en andra samordna är (x2, y2)

Detta, dock är nästan alltid kallad lutning funktionen och är ett mycket konkret exempel för en övertoning. När man talar om lutningen av en scalar funktion, är de nästan alltid hänvisar till fältet vektor som resulterar från att ta de spacial partiella derivator av en skalär funktion, som visas nedan.

___________________________________________________________

Ekvationen för övertoningen för en funktion, betecknade ∇f, beror på det koordinatsystem som används.

För det Cartesian koordinerade systemet:
∇f(x,y,z) = ∂f/∂x jag + ∂f/∂y j + ∂f/∂z k där ∂f / (∂x, ∂y, ∂z) är partiella derivatan av f med (x, y, z) och jag, joch k är de enhet vektorerna i x, y och z riktningar, respektive.

För cylindriskt koordinatsystem:
∇f(ρ,θ,z) = ∂f/∂ρ jagρ + (1/ρ) ∂f/∂θ jθ + ∂f/∂z kz där ∂f / (∂ρ, ∂θ, ∂z) är partiella derivatan av f med avseende (ρ, θ, z) och jagρ, jθoch kz är den enhet vektorer i ρ, θ och z riktningar, respektive.

För det sfäriska koordinatsystemet:
∇f(r,θ,φ) = ∂f/∂r jagr + (1/r) ∂f/∂θ jθ + [1 /(r sin(θ))] ∂f/∂φ kφ där ∂f / (∂r, ∂θ, ∂φ) är partiella derivatan av f med avseende (r, θ, φ) och jagr, jθoch kφ är enhet vektorer i r, θ och φ riktningar, respektive.

Naturligtvis, ekvationen för ∇f kan generaliseras till alla koordinatsystem i en n-dimensionell rymd, men det är utanför omfånget för detta svar.