Varför fungerar det Eulers formel på en cylinder?

Jag antar att du menar den formeln V + F - E = 2. Ett enkelt exempel är en kub, som har 8 vertex poäng, 6 ytor och 12 kanter, så 8 + 6 - 12 = 14 - 12 = 2. Ansiktena på en kub är platt, men detta skulle också fungera om ansikten eller kanter var något böjda, bara så länge de inte skär varandra. Anledningen till att jag nämner detta är för en cylinder, en av ansiktena att den böjda delen av cylindern. Låt oss böjda koncentrera först på det ansikte, eftersom det är den "hemligheten" om hur du tolkar Eulers lag för en cylinder. Om du undersöka en "plåtburk", vanligt som en mat behållare, visas att det finns en "söm" från botten till toppen. Det söm räknas som en kant vid tillämpningen av formeln. Det kanten har också ett formhörn på var och en av dess ändar. När vi stänger upp cylindern "plåtburk", är toppen en cirkulär ansikte, med en kant runt dess omkrets, och samma för nedre ansiktet. Här är en lista över alla ytor, kanter och hörn. Ansikte 1 = krökta ytan runt cylindern. Ansikte 2 = toppen, som är platt ansikte 3 = botten, som också är platt kant 1 = sömmen upp på sidan av den rundade delen Edge 2 = cirkeln runt den översta sidan kanten 3 = cirkeln runt botten inför. Vertex 1 = punkten längst upp i sömmen Vertex 2 = punkten längst ned i sömmen Observera att de två hörn också tjäna dubbel plikt som de punkter där de cirkulära kanterna börjar och slutar. Så, V + F - E = 2 + 3 - 3 = 2 + 0 = 2 Detta är inte det enda sättet att göra en "plåtburk". Du kan göra det med två sömmar från botten till toppen. Se det som att göra två halv-burkar, främre hälften och den baksida halvan, och sedan att sätta ihop dem längs sömmarna bifoga cylindriska volymen. Hur denna förändring saker? För en finns det en extra söm, vilket innebär en extra kant. Men det är inte allt. Den extra söm har en brytpunkt i varje ände och som bryter i övre och nedre cirkeln kanterna i två delar. Så E = 6 istället för 3. Den rundade delen som tidigare gick runt ersätts nu av två ansikten, som alla går halvvägs runt, så F = 4 istället för 3. Det finns två fler hörn, nämligen, punkterna i ändarna av nya söm kanten, så V = 4 istället för 2. Så V + F - E = 4 + 4 - 6 = 2 lagen kontrolleras under denna konfiguration, alltför.