Hur bevisar du Eulers formel?

Eulers formel står det ejagx = cos (x) + isin (x) där jag är den imaginära tal och x är ett verkligt tal.

Det första får vi potensserien av eix med hjälp av formeln:
EZ = Σ∞n = o zn/n! där z = jagx. Det ger oss:
1 + ix + (ix)2/2! + (jagx) 3/3! + (jagx) 4/4! + (jagx) 5/5! + (ix)6/6! + (ix)7/7! + (ix)8/8! + ...
som från egenskaperna för jag är lika med:
1 + jagx - x2/2! - jagx3/3! + x4/4! + jagx5/5! -x6/6! - jagx7/7! + x8/8! + ...
som är lika med:
(1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + x8/8! -...) + i(x - x3/3! + x5/5! - x7/7! +...).

Dessa två uttryck är likvärdiga med Taylor serien av cos(x) och sin(x). Så koppla dessa funktioner till uttrycket ger cos(x) + isin (x).

Q.E.D.

Naturligtvis var du gör x = п i Eulers formel, skulle du få Eulers identitet:
ejagπ = -1
Det beror på din definition frågan förutsätter att någon redan har gett en definition av exponentialfunktionen för komplexa tal. Men denna definition får? Om så, vad är denna officiella definition?

Svaret ovan förutsätter att exponentialfunktionen definieras, för alla komplexa tal, av dess power serien. (Eller, åtminstone, att någon annan redan har visat sig att driva serien definitionen är likvärdiga med vad vi tar till vara den officiella definitionen).

Så beror svaret kritiskt på vad definitionen av exponentialfunktionen för komplexa tal är.

Antar att du vet allt om det verkligt numrerar, och du försöker bygga upp en teori om komplexa tal. De flesta människor förmodligen visa det här sättet: matematiska objekt som komplexa tal är ute någonstans, och vi måste hitta dem och träna deras egenskaper. Men matematikerna ser det lite annorlunda. Om vi kan konstruera en sak som har alla egenskaperna känner vi området för komplexa tal ska ha, sedan för alla praktiska ändamål fältet av komplexa tal finns. Om vi kan definiera en funktion på detta område som har alla de egenskaper vi tror exponentiering på komplexa tal bör ha, då som så bra som visat sig att komplexa tal har exponentialfunktioner. Matematiker är bekväma med konstiga saker som komplexa tal, inte att de har visat att de existerar som sådan, men eftersom de har visat att deras existens är förenligt med allt annat. (Om allt annat är inkonsekvent, vilket skulle vara en verklig smärta men är mycket osannolikt.)

Så hur vi konstruera denna exponentialfunktionen? En metod vore helt enkelt att definiera det av exp(x+iy) = ex(cos(y)+i.sin(y)). Då svaret på denna fråga skulle vara trivialt: exp(iy) = exp(0+iy) = e0(cos(y)+i.sin(y)) = cos(y)+.sin(y). Men skulle du fortfarande ha lite arbete att göra för att bevisa saker som exp(z+w) = exp(z).exp(w). Alternativt kan du definiera exponentialfunktionen av dess power serien. (Det finns en sats som låter dig beräkna radien av konvergens och som berättar att radien är oändlig, dvs potensserien fungerar överallt.) Eller kanske du kan prova något som visar att ekvationen dw/dz = w har en unik lösning upp till en multiplikativ konstant, och definierar den exponentiella funktionen vara den lösning som uppfyller w = 1 på z = 0.

Låt z = cos(x) + i*sin(x)
DZ/dx =-sin(x) + i*cos(x)
= i*(i*sin(x) + cos(x))
= i*(cos(x) + i*sin(x))
= i*(z)
Därför dz/dx = iz
(1/z) dz = jag dx
INT ((1/z) dz = INT(i dx)
ln(z) = ix + c
z = e(ix+c)

Ersätta x = 0, får vi cos(0) + i*sin(0) = e(0i+c)
1 + 0 = e(0+c)
e(0+c) = 1
Därför c = 0

z = eix
Eix = cos(x) + i*sin(x)

Ersätta x = pi, får vi e(i*pi) = -1 + 0
e(i*pi) = -1
e(i*pi) + 1 = 0
qED

• Relaterade Frågor

• Hur bevisar du Herons formel?

  Vi kan bevisa Herons formel av metoden ekvation. Först av allt bör vi vet höjden på triangeln och de tre sidorna.Arbetet ges nedan:s =(a+b+c)/2Vi måste sedan hitta:s-as-bs-cAv data,√[s(s-a)(s-b)(s-c)] = 1/2bhOm svaren är lika, har sedan Herons formel

• Hur bevisar du kvadratiska formel?

  Essensen av motståndskraftigt är helt enkelt att slutföra torget för en generell andragradsekvation. Gillar det här:Ax2 + bx + c = 0Ta "a" utsidan:en [x2 + bx / a + c/a] = 0Dividera genom med "a":x2 + bx / a + c/a = 0Fyll torget:(x + b

• Hur bevisar du hemförsäkring vad stals?

  Jag funderar på en hemförsäkring och denna fråga slog mig: om en stöld med en tidigare inbrott istället hittade tar över hushållet försäkring. Men hur bevisar jag vad du stulna objekt var värt? Jag måste lämna in fakturan för dessa objekt eller finns

• Vad är Eulers formel?

  Eulers formel anges att för någon verklig nummer x,Eix = cos x + i synd xdär e är basen för den naturliga logaritmen, jag är den imaginära enheten, och cos och synd är de trigonometriska funktionerna cosinus och sinus respektive med argumentet x ange

• Hur kontrollerar du Eulers sats?

  Om en planar graf G dras i planet, så att inga två kanter korsa, planet är indelad i ett antal regioner som kallas "ansikten". Eulers sats (för plana grafer): Låt G vara en anslutna planar graf drwawn i planet. Om det finns v hörn, e kanter, och

• Varför fungerar det Eulers formel på en cylinder?

  Jag antar att du menar den formeln V + F - E = 2. Ett enkelt exempel är en kub, som har 8 vertex poäng, 6 ytor och 12 kanter, så 8 + 6 - 12 = 14 - 12 = 2. Ansiktena på en kub är platt, men detta skulle också fungera om ansikten eller kanter var något

• Varför är Eulers formel viktigt?

  Eulers formel är viktigt eftersom det berör berömda konstanter, som pi, noll, Eulers tal "e" och ett imaginära tal "i" i en ekvation. Formeln är (e upphöjt till i gånger pi) plus 1 är lika med 0.

• Hur lönsamt är formel 1?

  Vilka investeringsmöjligheter runt formel 1 och hur attraktiva de är eller hur hög är risken?

• Hur bevisar jag resor defekter?

  God dag, med mig på semester (kom tre dagar sedan) en massa saker gå fel. Så till exempel poolen inte byggs fortfarande och helpension som bokfördes, ser jag inte något här. Någon som vet hur du bäst bevisar att resa providern som lovat något fel. Är

• Hur bevisar jag den operativa användningen av min dator FA?

  HejIdag fick jag min skatt uttalande för 2013. Förutom mitt egentliga arbete arbetar jag deltid som frilansare. Därför har jag köpt 2013 en bärbara och stationära dator jag. Med köpet hade jag ju redan en egen bärbar dator och en stationär dator.Jag

• Hur bevisar man Skatteverket att du får inget underhållsbidrag från far till barnet?

  Statskassan behövs bevis på det - jag frågar mig grad, hur till vända bort den? Det är så offenslichtlich som ingenting kommer in på mitt konto. Är det socialen Ungdom från, eftersom du fick från där UHV? Eller har du en idé på hur du kan skicka ett

• Hur bevisar man vindar den försäkring om av på bekostnad av huset ska komma?

  Kan någon berätta för mig hur du kan bevisa styrkan i vinden och ta en titt på alla? Jag fick kontraktet här och där som är skada endast från en viss vindstyrka kommer att accepteras. Var ska jag få nu efter en storm hur stark han var? Kontrollerna a

• Hur bevisar man en "kärlek match"?

  I vår krets av vänner finns det några som faktiskt ville gifta sig nästa år. Nu identifieras en dödlig sjukdom i honom, med vilken han har bara en kort tid att leva. Han vill gifta sig nu veta omedelbart hans partner säkrade. På Internet läst jag men

• Hur bevisar du att någon är en sociopat?

  Uppdatering: Det är nu möjligt att bevisa förekomsten av sociopathy (psykopati) med hjälp av en kombination av en EEG (elektroencefalogram) och en speciell typ av MRI (magnetisk resonansen tänkbar) som visar tydliga bilder av hjärnan i arbetet. Skill

• Hur mixar du en formel med hjälp av nejlika avdunsta mjölk för spädbarn?

  Jag har 3 barn och jag har aldrig gjort det men en sjuksköterska på mitt jobb säger dess allt hon någonsin använt och hon har 3 friska tonåriga söner. Du blandar bara lika delar sterilt vatten med nejlika mjölken, för en bra, billig formel.

• Hur bevisar du en negativ som inte kan bevisas?

  Ganska mycket detta är per definition omöjligt; till exempel Betrand Russell postulerade en tekanna som kretsar runt solen - hur vill du bevisa det var inte det? Ett annat exempel skulle vara att hävda att det fanns ett sandkorn någonstans med ditt n

• Hur bevisar du att Gud finns?

  Det finns tiotals bevis för Guds existens. Dessa har registrerats i århundraden och är lätt att slå upp. Men detta ämne i slutändan blir en av personliga övertygelse, eftersom våra innehav av fri vilja mandat att det vara möjligt att lägga fram argum

• Hur blir man en formel 1 racer?

  hur du blir en f1 förare? Att bli en formular 1 racer: det första du kan göra är att börja goin go-kart då och då och om du gillar detta kan du prova att starta woking på en formular 1 lopp spår även om dess endast ge ut biljetter eller rengöring bil

• Hur bär du formella slitage på sims 2?

  gå till en garderob eller byrå och välj Ändra outfit - formella